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物理问题的分析与研究过程，即为准确地认识与度量该物理问题涉及的物理量，寻找并建立这些物理量之间的内在联系和定量的函数关系；从某种意义上讲，对物理量或物理规律的认识最关键的一步就是对物理量或物理量之间的内在联系进行定量的描述。无论物理问题形式如何，其必须满足量纲一致性法则，即只有量纲相同的物理量或物理量组合才能进行对比或加减运算，因此对于任何一个物理问题或规律，其函数关系中等式两端的量纲应该完全一致；也就是说，姑且不论等式两端数值是否相等，但其量纲必定相同。

换一个角度看，我们即使不知道函数中物理量的具体数值，纯粹从量纲上进行运算和转换也可对该物理问题或规律进行初步分析；反之，我们也可以根据量纲的一致性对所给出的函数关系的正确性进行预判。这种多个物理量量纲之间的运算包含基础衍生量纲的展开、导出独立量纲向基本量纲的转换及其基本量纲之间的运算，这种分析过程即为量纲分析。

当前物理问题涉及的量纲有很多，如不考虑无量纲物理量，物理量量纲整体可以分为三类：基本量纲(7个)、导出独立量纲(20个)和衍生量纲。衍生量纲与基本量纲之间的联系是通过衍生量纲对应的物理量定义来建立的，如加速度量纲展开为长度量纲与时间量纲的平方之商，就利用到加速度的定义；导出独立量纲与基本量纲之间的联系则是通过应用某个物理定律来建立的，如力的量纲转换为质量量纲与加速度量纲的乘积，就应用了牛顿运动定律。因此，量纲分析的过程也是一系列物理量定义与定律的使用及运算过程，从某种程度上讲，这是量纲分析的一个物理本质。

当前，度量单位特别是国际标准度量单位的出现，极大程度地促进了科技交流和发展，但有时也使得物理规律分析更为复杂，因为这相当于在复杂的物理问题中引入了外部基准量；对于特定物理问题而言，如果我们不采用这些基准量，而直接采用物理问题所包含的某个物理量或某几个物理量组合为度量单位，则可在一定程度上简化物理问题的分析过程。因此，量纲分析也是排除外部基准度量单位而利用物理问题或规律涉及的物理量或物理量的组合为度量单位的一个过程，这是量纲分析的另一个物理本质。在此，需要说明的是，量纲分析的方法是不断发展的，随着新物理量的定义和新物理规律的发现，量纲之间的关系与演化过程会更新发展。

量纲分析理论和方法无论对于科学研究还是工程问题分析皆具有极其重要的作用，特别是对于流体力学、爆炸力学、冲击动力学及其相关学科的科学研究和工程问题分析，其重要性是不可替代的。

第一，量纲分析能够很大程度上简化问题。以单摆周期为例，利用量纲一致性法则初步判断就能够排除小球质量这一影响因素，进一步量纲分析则可将此多变量函数问题简化为一个常数方程问题。

第二，量纲分析能够极大程度上减少试验量、优化试验设计。由于通过量纲分析能够减少自变量的数量，从而成量级地减少试验量并提高试验准确率；同时，通过量纲分析给出无量纲相似准数，能够在一定程度上挖掘出问题中自变量之间的内在联系，所设计的试验更加合理可行。以管流问题为例，通过量纲分析可以给出关键的相似准数Reynolds数，从而更加方便科学地设计试验，进而给出极其接近理论的函数关系与形式；可以设想，如果没有进行量纲分析，我们很难将其中看起来完全无关的自变量进行科学组合，不仅试验量成量级地增加，而且根据试验结果我们也无法给出此类形式的函数关系。

第三，量纲分析能够帮助我们建立科学准确的相似模型。对于强非线性问题如流体力学、流体动力学、爆炸与冲击动力学等，很难从理论出发给出解析解，还是需要以试验为主给出相关准确可行的结论。然而，很多时候我们无法或者很难利用原型来开展大量的试验，此时则需要设计科学准确的缩比模型来实现，就像钱学森先生所言：“由于爆炸力学要处理的问题远比经典的固体力学或流体力学要复杂，似乎不宜一下子想从力学基本原理出发，构筑爆炸力学理论。近期还是靠小尺寸模型实验，但要用比较严格的无量纲分析，从实验结果总结出经验规律。这也是过去半个多世纪行之有效的力学研究方法”。对于其他行业的非线性问题，这种说法也是科学适用的。

第四，利用量纲分析对试验数据进行整理，能够给出更加准确科学的规律性结论，也能够极大降低数据处理的难度。以本书中的爆炸冲击波传播为例，如果不进行量纲分析，试验数据非常混乱且并没有明显的规律性，若利用传统的曲线拟合方法如最小二乘法等，所给出的结论复杂且一般不满足量纲一致性法则，适用性和推广性不足，结论的物理意义不明显；而利用量纲分析对数据进行整理后，规律性非常明显，很容易就获得非常接近理论的定量规律，而且结论必然满足量纲一致性法则。

第五，结合部分理论分析，利用量纲分析能够给出非常有用且相对准确的结论，如Taylor等结合理论分析，仅根据照片就相对准确地预测到核爆当量。

第六，利用量纲分析，能够对某些满足自相似特征问题的复杂偏微分方程进行转换，从而给出常微分方程，或者简单快速地初步判断理论推导结论的准确性。

以上六点只是量纲分析的一部分功能，但也足以说明量纲分析理论的重要及强大。利用量纲分析解决复杂问题是“性价比”最高的科学方法之一，虽然其分析过程并不难，但其作用和效率有时候却十分惊人。当前各行业流传广、影响大的很多经验公式都有量纲分析的影子在内，利用量纲分析给出的物理问题相似律在试验研究方面更是普遍存在，甚至是不可或缺的；严格来讲，量纲分析并不只是某一个特定专业或学科的专业课程，还是许多工科专业、学科甚至不少理科相关专业研究人员或工程人员不可缺少的基础课程。

《量纲分析理论与应用》力求在Π定理的基础上，基于量纲分析的本质与内涵，建立一系列相对完备的概念、性质、定理与推论体系，给出量纲分析相对标准的分析思路与方法，并探讨如何利用量纲分析结合理论、试验或数值仿真有机深入地分析复杂问题，特别是爆炸与冲击动力学问题。

本书分为6章对量纲分析的理论与应用进行阐述。

第1章为单位与量纲，主要讲述度量单位的起源与发展，以及当前国际标准的度量单位体系及其基本定义；介绍量纲的概念与内涵、量纲的类别及其运算法则，并证明量纲的幂次表示性质。

第2章为量纲分析与Π理论，主要讲授量纲分析的概念与内涵、量纲分析的基本原理与量纲一致性法则；讲述Π定理、基本量纲确定的基本方法与原则、参考物理量的选取基本方法与原则，证明矩阵分析法的普适性并提出其应用方法；给出量纲分析的基本思路及其对应分析方法与分析原则，包括如何确定物理问题中的主要因素，如何分析自变量的独立性与耦合性，如何对无量纲函数表达式进一步演化。

第3章为量纲分析与相似律，讲述物理问题几何相似、材料相似与物理相似的概念与内涵；阐述相似律的概念与相似准数、相似律的性质与量纲分析以及相似律的内涵与特征；分析探讨几何相似律、相似律与几何相似律之间的联系与区别，以及几何相似律的概念、内涵、性质与特征。

第4章为量纲分析与试验分析，主要讲授如何利用量纲分析理论与方法设计试验，如何利用量纲分析方法对试验数据进行整理总结；讲述量纲分析方法对试验设计的简化方式、相似缩比模型的设计、几何相似与尺寸效应的内涵；结合实例进行爆炸波传播问题中的相似律与试验结果分析、岩土介质中爆炸冲击问题的相似律与试验结果分析、撞击侵彻问题的相似律与试验结果分析，讲述量纲分析理论对爆炸与冲击问题相似模型设计的指导、量纲分析方法在其试验结果分析总结中的重要作用。

第5章为量纲分析与理论推导，主要讲述如何利用量纲分析简化理论分析步骤、提高分析效率与准确性，并对几种典型的满足自相似问题的偏微分方程或偏微分方程组进行量纲分析；介绍如何利用量纲分析方法对偏微分方程进行常微分化。

第6章为量纲分析与理论/试验/数值仿真综合应用，主要以SHPB试验中的整形片问题为例，阐述量纲分析理论与方法、试验研究、理论分析与数值仿真之间如何有机融合以对问题进行分析，介绍它们之间的综合分析方法。

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